MATH1336 – 01/02

Midterm 2 Review – Part 2

Winter 2025

Part 1 is the review for Midterm 1.  Review both! Remember, this exam is comprehensive.  It will be approximately 40% on Part 1 and 60% on Part 2.

1.

a)  Determine the work done by a 20 Newton force directed 𝜋  radians above horizontal in pulling a sled 5 meters up a 4

𝜋

slope measuring     radians above horizontal.

6

b)  Determine the torque on a 4-meter rod attached at the origin 𝜋

rod

𝐹

⃗⃗

(pivot point in the diagram) sloping at an angle of     radians 3

above horizontal by a force of 10 Newtons pulling on the end of the rod away from the origin straight down in the vertical Pivot

direction.

point

2.

a)  Give the equation of the line through:  𝑃1 = ( 3, 1, −2) and  𝑃2 = ( 5, 0, 1) in these three forms: 𝑃𝑄

⃗⃗⃗  = 𝑡𝑣  ; Parametric form; and Symmetric form.  𝑃 = either 𝑃1 or 𝑃2 and  𝑄 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) b)  Determine the distance from the point 𝑀 = ( 5, 4, 2) to the line.

c)  Determine the area of the triangle Δ𝑃1𝑃2𝑀

3.

a)  Give the equation of the plane containing the given points, 𝑃1 = ( 2, 4, −1), 𝑃2 = ( 6, 2, 3), and 𝑃3 = ( 4, 0, 7), in vector, scalar, and general form.

b)  Determine the distance from the point 𝑃 = ( 8, 2, −4) to the plane 4.

a)  Given the 2-D vector-valued function,  𝑑

⃗⃗   (𝑡) = 〈4𝑡 − 𝑡2, 6𝑡 − 2𝑡2〉 for the displacement of an object from the origin, graph  𝑑

⃗⃗   (t) for 𝑡 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

b)  Find   𝑣

⃗⃗  (t) =  𝑑

⃗⃗   ′(𝑡).  Graph  𝑣

⃗⃗  (t) for 𝑡 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}  How do the directions of your  𝑣

⃗⃗  (t) vectors

correspond to your graph of  𝑑

⃗⃗   (t) ?

c)  Find   𝑎

⃗⃗  (t) =  𝑣

⃗⃗  ′(𝑡).  What does your answer imply?

𝑡

𝑡

5.

Given:   𝑣

⃗⃗  (t) = 〈4 𝑒(− )

)

4 cos (𝜋 𝑡) , 2 𝑒(−4 sin (𝜋 𝑡) , 3𝑡 〉

4

4

𝑡+2

a)  Determine the limit:   i) lim  𝑣

⃗⃗  (t)

ii)  lim  𝑣

⃗⃗  (t)

iii)  lim  𝑣

⃗⃗  (t)

𝑡→0

𝑡→4

𝑡→∞

b)  Describe the graph.

6.

Write the formula and the recursive definition of each sequence: a)  {𝑎n} = {5, 10, 20, 40, 80, … }

b)  {𝑏n} = {5, 8, 11, 14, 17, 20, … }

c)  {𝑐n} = {1, 3, 7, 15, 31, 63, … } recursive only d)  {𝑑n} = {2, −1, 1 , − 1 , 1 , − 1  , … }

2

4 8

16

7.

Make an educated/informed “guess” of the limit of the sequence 𝑎𝑛 = 4n ,  i.e., 𝐿 = lim 𝑎

2n−1

𝑛

𝑛→∞

a)  Find 𝑀 ∈ ℕ (in terms of 𝜀) such that |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀  ∀𝑛 > 𝑀   Doing this proves  lim 𝑎𝑛 = 𝐿

𝑛→∞

b)  Find 𝑀 ∈ ℕ such that |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀  ∀𝑛 > 𝑀 for 𝜀 = 0.1 and 𝜀 = 0.01

MATH1336 – 01/02

Midterm 2 Review – Part 2

Winter 2025

8.

Make an educated/informed “guess” of the limit of the sequence 𝑎𝑛 = 2n ,  i.e., 𝐿 = lim 𝑎

n2+1

𝑛

𝑛→∞

a)  Find 𝑀 ∈ ℕ (in terms of 𝜀) such that |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀  ∀𝑛 > 𝑀   Doing this proves  lim 𝑎𝑛 = 𝐿

𝑛→∞

b)  Find 𝑀 ∈ ℕ such that |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀  ∀𝑛 > 𝑀 for 𝜀 = 0.1 and 𝜀 = 0.01

9.

a)  If an infinite series, ∑∞ 𝑎

𝑖=1

𝑖 converges, what can you say with certainty about the limit  𝐿 = lim 𝑎𝑛?

𝑛→∞

Write your answer as an if/then statement, e.g., If A then B.

b)  Is the converse of the statement in part a) above true?  If not, provide an explanation or counterexample supporting your answer.  The converse of “If A then B” is “If B then A.”

10.

For each of the following series, apply Theorem 5.8, the “Divergence Test.”  Make sure to state the conclusion accurately.

𝑖−1

1

a)  ∑∞ (3)

∞

∞

∞

𝑖=1

b)  ∑

2−n

2

𝑛=1

c)  ∑

𝑛2

𝑛=1

d)  ∑

𝑛

𝑒𝑛

𝑛=1

ln 𝑛

11.

a)  Show ∑n 𝑟𝑖−1

∞

𝑖=1

= 1−𝑟𝑛

b)  For what values of 𝑟 will ∑

r𝑖−1

1−𝑟

𝑖=1

have a limit?

𝑖−1

𝑖−1

12.

a)  Find the limit of ∑∞ 6 (2)

∞

𝑖=1

b)  Find the limit of ∑

6 (− 2)

3

𝑖=1

3

c)  Which of the limits in parts a) and b) above is less?  Why?

𝑖

𝑖−1

13.

a)  Find the limit of ∑∞ 10 (2)

∞

𝑖=1

b)  Find the limit of ∑

(1)

5

𝑖=3

3

14.

For each of the following  p- series, apply Theorem 5.8, the “Divergence Test.”  If the “Divergence Test” is inconclusive, apply the “Integral Test” to determine whether the given  p- series converges or diverges.

a)  ∑

1

∞

∞

∞

∞

𝑖=1

b)  ∑

1

𝑖−0.5

𝑖=1

c)  ∑

1

𝑖0.5

𝑖=1

d)  ∑

1

𝑖

𝑖=1

𝑖1.1

15.

Use the “Comparison Test” to determine if the given series converges or diverges.

𝑖

a)  ∑

1

∞

∞

𝑖=1

b)  ∑

( 𝑖 )

√

𝑖=1

𝑖3+3𝑖

3𝑖+1